Definición de derivada
La derivada es uno de los conceptos más importante en
matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente
de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por
partes.
La definición de derivada es la siguiente:
Podría, pues, no existir tal límite y ser la función no
derivable en ese punto. En esta primera práctica vamos a ver qué significa cada
uno de los términos que aparecen en la formula anterior.
El estudio de las
operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo
infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma
independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no
se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la
que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
1. Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un
punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h,
pasando al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se
le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h)
y f(a) el incremento de la función.
2. Tasa de variación instantánea. La
derivada
Consideremos un valor h (que
puede ser positivo o negativo).
Nos interesa medir la tasa
instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :
A este valor se le llama la derivada de
la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la
tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.
3. Interpretación geométrica de la
derivada
La tasa
de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la
recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a
+h.
Si h tiende a cero, el punto
a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta
tangente a la curva. Por lo tanto: https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg
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